Pembuktian
kontrapositif merupakan salah satu jenis pembuktian tidak langsung. Sebelum
masuk ke pembuktian ini kita ingat kembali materi logika matematika. Pada
materi logika matematika pernyataan p↦q memiliki nilai
yang ekuivalen dengan pernyataan −q↦−p karena kedua
pernyataan tersebut tautologi (silakan periksa nilai kebenaran dari kedua
pernyataan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran). Pembuktian
kontrapositif juga mengikuti pernyataan tersebut.
Kita
memulai pembuktian dengan terlebih dahulu menegasikan kesimpulan ( −q ) sedemikian sehingga dengan langkah-langkah yang
tepat kita sampai pada kesimpulan dalam bentuk negasi hipotesis ( −p ). Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian
kontrapositif memiliki struktur sebagai berikut:
Dimulai: negasi kesimpulan ( −q )
……
|
Pernyataan logis
|
……
|
Diakhiri:
negasi hipotesis ( −p )
Teladan:
Jika n2 merupakan
bilangan genap maka n merupakan
bilangan genap.
Bukti:
Andaikan n merupakan
bilangan ganjil (negasi dari kesimpulan “n merupakan
bilangan genap”), sehingga n dapat ditulis
sebagai n=2x+1 dengan x anggota
bilangan bulat.
Akan dibuktikan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil (negasi hipotesis “ n2 merupakan bilangan genap "). Bila n=2x+1 maka n2=n×n=(2x+1)×(2x+1)= 4x2+4x+1=2(2x2+2x)+1 , bila z=2x2+2x dan z merupakan anggota bilangan bulat maka berlaku pula n2=2z+1 . Bentuk n2=2z+1 menunjukkan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil.
Akan dibuktikan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil (negasi hipotesis “ n2 merupakan bilangan genap "). Bila n=2x+1 maka n2=n×n=(2x+1)×(2x+1)= 4x2+4x+1=2(2x2+2x)+1 , bila z=2x2+2x dan z merupakan anggota bilangan bulat maka berlaku pula n2=2z+1 . Bentuk n2=2z+1 menunjukkan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil.
Proses
Berfikir:
Pembuktian dimulai dengan menentukan hipotesis dan kesimpulan. Pada masalah tersebut hipotesisnya adalah n2 merupakan bilangan genap dan kesimpulannya adalah n merupakan bilangan genap. Kemudian mulai membuat negasi dari hipotesis dan kesimpulan. Negasi dari hipotesis adalah n2 bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil. Sedangkan negasi dari kesimpulan adalah n bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan n merupakan bilangan ganjil. Pada pembuktian kontrapositif ini, kita akan memulai pembuktian dari negasi kesimpulan kemudian diakhiri dengan negasi hipotesis.
Pembuktian dimulai dengan menentukan hipotesis dan kesimpulan. Pada masalah tersebut hipotesisnya adalah n2 merupakan bilangan genap dan kesimpulannya adalah n merupakan bilangan genap. Kemudian mulai membuat negasi dari hipotesis dan kesimpulan. Negasi dari hipotesis adalah n2 bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil. Sedangkan negasi dari kesimpulan adalah n bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan n merupakan bilangan ganjil. Pada pembuktian kontrapositif ini, kita akan memulai pembuktian dari negasi kesimpulan kemudian diakhiri dengan negasi hipotesis.
Kita mulai dengan pernyataan n merupakan bilangan ganjil, ingat kita tidak diperkenankan mengambil sebuah bilangan untuk melakukan pembuktian tetapi menuliskannya nilai n secara umum. Misal n merupakan bilangan ganjil, n dapat ditulis sebagai n=2x+1 dimana x merupakan anggota bilangan bulat. Selanjutnya kita ingin sampai pada kesimpulan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil, sehingga n2=n×n=(2x+1)×(2x+1)= 4x2+4x+1=2(2x2+2x)+1 . Selanjutnya, ingat bahwa kita ingin memperoleh hasil yang terkait dengan bilangan ganjil (secara umum ditulis 2z+1 ). Kita dapat melakukan beberapa manipulasi matematika, salah satu cara dengan memisalkan 2x2+2x sebagai z atau dapat ditulis ( z=22+2x ) dan z merupakan anggota bilangan bulat. Sehingga n2 dapat ditulis ulang sebagai 2z+1 atau n2=2z+1 . Bentuk n2=2z+1 menunjukkan bahwa n2 merupakan bilangan ganjil. Terlihat bahwa kesimpulan yang didapat sesuai dengan negasi hipotesis.
Hal tersebut menyebabkan pernyataan awal bahwa “Jika n2 merupakan bilangan genap maka n merupakan bilangan genap” terbukti benar.