Pembuktian dengan Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung lainnya adalah pembuktian dengan kontradiksi. Metode pembuktian ini agak berbeda dengan kedua metode pembuktian sebelumnya, pada metode pembuktian dengan kontradiksi ini kita mencoba mencari kesalahan logika (kontradiksi),baik kontradiksi dengan fakta (misal: 1 = 0) maupun kontradiksi dengan hipotesis yang dimiliki. Struktur logika pada metode pembuktian ini adalah yang ternyata ekuivalen dengan pernyataan  (cek nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut menggunakan tabel kebenaran). Salah satu keuntungan dari pembuktian ini adalah kita mendapatkan tambahan hipotesis sebagai modal dalam melakukan pembuktian.

Kita memulai pembuktian dengan menggunakan 2 hipotesis yakni: hipotesis awal dan negasi dari kesimpulan sedemikian rupa sehingga dengan langkah-langkah yang tepat kita sampai pada kesimpulan yang akan didapatkan merupakan kontradiksi (baik kontradiksi dengan fakta maupun kontradiksi dengan hipotesis yang dimiliki). Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian dengan kontradiksi memiliki struktur sebagai berikut:

Dimulai: hipotesis  dan negasi kesimpulan 

……	Pernyataan logis

Diakhiri: kontradiksi (c)

Teladan 1.3.1: Misal merupakan anggota bilangan bulat, jika merupakan bilangan genap maka merupakan bilangan genap.

Bukti: Berdasarkan hipotesis maka merupakan bilangan genap, hipotesis berikutnya (negasi kesimpulan) andaikan merupakan bilangan ganjil. Berdasarkan pengandaian maka terdapat k anggota bilangan bulat sehingga berlaku . 

Sehingga nilai , bila terdapat  merupakan bilangan bulat dan sehingga berlaku . Kesimpulan yang didapat adalah merupakan bilangan ganjil, hal tersebut bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa merupakan bilangan genap. Sehingga pernyataan “Misal merupakan anggota bilangan bulat, jika merupakan bilangan genap maka merupakan bilangan genap” terbukti benar.

Teladan 1.3.2: Misal dan merupakan anggota bilangan bulat, jika dan merupakan bilangan genap maka merupakan bilangan genap.

Bukti: Berdasarkan hipotesis maka bilangan genap dan bilangan genap hipotesis berikutnya (negasi kesimpulan) andaikan merupakan bilangan ganjil. Bila dan bilangan genap maka terdapat dan anggota bilangan bulat sehingga berlaku dan . Sedangkan bila merupakan bilangan ganjil maka terdapat anggota bilangan bulat sehingga berlaku .

Berdasarkan hipotesis pertama ( dan ) dan kedua () dapat pula ditulis atau . Bila terdapat yang merupakan bilangan bulat, maka nilai . Kesimpulan yang didapat adalah nilai yang berarti merupakan bilangan ganjil, hal tersebut bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa merupakan bilangan genap. Sehingga pernyataan “Misal dan merupakan anggota bilangan bulat, jika jika dan merupakan bilangan genap maka merupakan bilangan genap"terbukti benar.