Metode Pembuktian : Pembuktian Langsung

Pebuktian langsung dapat kita awali dari pernyataan , dimana pernyataan p disebut hipotesis dan pernyataan q disebut kesimpulan. Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian langsung memiliki struktur sebagai berikut:

Dimulai: hipotesis (p)

……	Pernyataan logis
……

Diakhiri: kesimpulan (q)

Teladan 1.1.1: Jika m dan n adalah bilangan genap maka m+n bilangan genap.

(Ingat bahwa integer n merupakan bilangan genap jika dan hanya jika terdapat integer k sedemikian sehingga berlaku n = 2k; integer n merupakan bilangan ganjil jika dan hanya jika terdapat integer k sedemikian sehingga berlaku n = 2k+1).

Bukti: Misal m dan n merupakan bilangan genap. Sehingga terdapat integer j dan k sedemikian sehingga berlaku m = 2j dan n = 2k.  Sehingga m + n = 2j + 2k = 2 (j+k). Maka m + n merupakan bilangan genap.

Proses Berpikir: Kita mulai dengan mengasumsikan hipotesis bahwa m dan n merupakan bilangan genap. Selanjutnya kita mulai mengembangkan konsekuensi logis sedemikian rupa sehingga mendapatkan kesimpulan bahwa m+n merupakan bilangan genap. Kita dapat saja mengambil sebuah bilangan sebagai contoh, tetapi yang harus diingat apabila kita mengambil sebuah bilangan sebagai contoh maka pernyataan tersebut hanya benar untuk contoh yang diambil (tidak benar secara umum). Misal kita ambil nilai m dan n berturut-turut adalah 2 dan 4, maka pernyataan di atas akan menjadi 2 + 4 = 6 (bilangan genap) pernyataan tersebut benar tetapi hanya untuk nilai n = 2 dan m = 4 begitu pula bila kita ambil contoh lainnya.

Untuk mengatasi keterbatasan tersebut, kita dapat memisalkan nilai m dan n dengan menuliskan sebagai nilai m = 2j dan n = 2k dimana j dan k merupakan anggota dari bilangan integer. Kemudian, pernyataan tersebut ingin melihat penjumlahan antara m dan n. Karena nilai m = 2j dan n = 2k  sehingga penjumlahan kedua bilangan tersebut dapat ditulis pula 2j + 2k. Selanjutnya pernyataan tersebut menginginkan bahwa hasil dari penjumlahan tersebut merupakan bilangan yang bernilai genap (ingat bahwa bilangan genap dapat ditulis sebagai 2k dengan k merupakan anggota bilangan integer), dengan menggunakan sifat distributif 2j + 2k = 2 (j+k). Kita ingat kembali pada aljabar berlaku sifat ketetutupan pada operasi (+), sehingga apabila dua buah bilangan integer dijumlahkan (j+k) maka hasil yang diperoleh juga merupakan bilangan integer, misal x. Sehingga 2 (j+k) = 2x. Kesimpulannya m + n = 2x, sehingga pernyataan bahwa apabila kedua bilangan genap (m dan n ) dijumlah maka akan menghasilkan bilangan genap.

Teladan 1.1.2: Jika x bilangan ganjil maka bilangan ganjil

Bukti: Misal x bilangan ganjil, maka dapat ditulis pula x = 2a+1 dimana a merupakan bilangan integer. Selanjutnya apabila dijabarkan x^2 = x . x, sehingga x^2 = x . x = (2a+1) (2a+1)= 4a^2 + 4a + 1 = 2 (2a^2+2a) +1. Apabila kita misalkan bahwa b = 2a^2+2a, maka x^2 = 2b + 1. Jadi, x^2 bilangan ganjil.

Teladan 1.1.3: Jika a|b dan b|c maka a|c

(a|b menyatakan bahwa suatu bilangan b habis di bagi a atau bila bilangan b dibagi a maka tidak memiliki sisa pembagian. secara matematis a|b dapat ditulis pula sebagai b = a.x dimana x merupakan sebarang anggota bilangan integer)

Bukti: a|b dan b|c dapat pula ditulis dalam bentuk b = a.x dan c = b.y dimana x dan y merupakan anggota bilangan integer.  

Teladan 1.1.4: Jika dua integer memiliki paritas berlawanan maka jumlah keduanya ganjil.

(paritas adalah sifat pada bilangan bulat yang terdiri dari bilangan ganjil dan bilangan genap)

Bukti: Dua integer dengan paritas berlawanan (misal p bilangan genap dan q bilangan ganjil)

(Pembuktian harus dibagi menjadi 2 kasus yakni pada saat p genap dan q ganjil dan kasus lain pada saat p ganjil dan q genap)

Kasus I (p genap dan q ganjil)

Bila p merupakan bilangan genap maka p dapat dituliskan sebagai 2x, dengan x anggota bilangan bulat. Bila q merupakan bilangan ganjil maka q dapat dituliskan sebagai 2y+1, dengan y anggota bilangan bulat. Jumlah kedua bilangan dapat dituliskan sebagai; p+q = 2x + (2y+1) = 2x+2y+1 = 2(x+y)+1 = 2 z +1 , dimana z = x+y dan z merupakan bilangan bulat. Terlihat bentuk P + q = 2z +1 menunjukkan bahwa p + q merupakan bilangan ganjil.

Kasus II (p ganjil dan q genap)

Dengan cara yang mirip didapatkan bahwa p + q juga merupakan bilangan ganjil.

Dari kedua kasus tersebut dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua bilangan dengan paritas yang berlawanan akan menghasilkan bilangan ganjil.

semoga membantu...

salam,
aji raditya