Metode Pembuktian : Pembuktian kontrapositif

Pembuktian kontrapositif merupakan salah satu jenis pembuktian tidak langsung. Sebelum masuk ke pembuktian ini kita ingat kembali materi logika matematika. Pada materi logika matematika pernyataan \( p \mapsto q\)  memiliki nilai yang ekuivalen dengan pernyataan  \( - q \mapsto - p\)  karena kedua pernyataan tersebut tautologi (silakan periksa nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran). Pembuktian kontrapositif juga mengikuti pernyataan tersebut.

Kita memulai pembuktian dengan terlebih dahulu menegasikan kesimpulan ( \( - q\) ) sedemikian sehingga dengan langkah-langkah yang tepat kita sampai pada kesimpulan dalam bentuk negasi hipotesis ( \( - p\) ). Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian kontrapositif memiliki struktur sebagai berikut:

Dimulai: negasi kesimpulan ( \( - q\) )

……	Pernyataan logis
……

Diakhiri: negasi hipotesis ( \( - p\) )

Teladan: 

Jika  \( n^{2}\)  merupakan bilangan genap maka \( n\) merupakan bilangan genap.

Bukti: 

Andaikan \( n\) merupakan bilangan ganjil (negasi dari kesimpulan “\( n\) merupakan bilangan genap”), sehingga \( n\) dapat ditulis sebagai \( n=2x+1\) dengan \( x\) anggota bilangan bulat.
Akan dibuktikan bahwa \( n^{2} \) merupakan bilangan ganjil (negasi hipotesis “ \( n^{2} \) merupakan bilangan genap "). Bila \( n = 2x+1\)  maka \( n^{2}= n \times n = (2x+1) \times (2x+1) = \) \( 4 x^{2} + 4 x +1 = 2 (2 x ^{2} + 2x) +1 \)   , bila \( z = 2x^{2} + 2x \) dan \( z\) merupakan anggota bilangan bulat maka berlaku pula \( n^{2}=2z+1 \) . Bentuk \(n^{2}=2z+1 \) menunjukkan bahwa \( n^{2} \)  merupakan bilangan ganjil.

Proses Berfikir:

Pembuktian dimulai dengan menentukan hipotesis dan kesimpulan. Pada masalah tersebut hipotesisnya adalah \( n^{2} \) merupakan bilangan genap dan kesimpulannya adalah \( n \) merupakan bilangan genap. Kemudian mulai membuat negasi dari hipotesis dan kesimpulan. Negasi dari hipotesis adalah \( n^{2} \) bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan bahwa \( n ^{2} \) merupakan bilangan ganjil. Sedangkan negasi dari kesimpulan adalah \( n \) bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan \( n \) merupakan bilangan ganjil. Pada pembuktian kontrapositif ini, kita akan memulai pembuktian dari negasi kesimpulan kemudian diakhiri dengan negasi hipotesis.

Kita mulai dengan pernyataan \( n \) merupakan bilangan ganjil, ingat kita tidak diperkenankan mengambil sebuah bilangan untuk melakukan pembuktian tetapi menuliskannya nilai \( n \) secara umum. Misal \( n \) merupakan bilangan ganjil, \( n \) dapat ditulis sebagai \( n= 2x+1 \) dimana \( x \)  merupakan anggota bilangan bulat. Selanjutnya kita ingin sampai pada kesimpulan bahwa \( n ^{2} \) merupakan bilangan ganjil, sehingga \( n ^{2} = n \times n = (2x+1) \times (2x+1) = \) \( 4 x^{2}+ 4x +1 = 2 (2 x^{2} +2x) +1 \) . Selanjutnya, ingat bahwa kita ingin memperoleh hasil yang terkait dengan bilangan ganjil (secara umum ditulis \( 2 z+ 1\) ). Kita dapat melakukan beberapa manipulasi matematika, salah satu cara dengan memisalkan \( 2 x ^{2}+ 2x \) sebagai \( z \) atau dapat ditulis ( \( z = 2  ^{2} + 2x \) ) dan \( z \) merupakan anggota bilangan bulat. Sehingga \( n^{2} \) dapat ditulis ulang sebagai \( 2z+1 \) atau \( n^{2}= 2z + 1 \) . Bentuk \( n^{2} = 2z +1 \) menunjukkan bahwa \( n^{2} \) merupakan bilangan ganjil. Terlihat bahwa kesimpulan yang didapat sesuai dengan negasi hipotesis. 

Hal tersebut menyebabkan pernyataan awal bahwa “Jika \( n^{2} \) merupakan bilangan genap maka \( n \) merupakan bilangan genap” terbukti benar.