Metode Pembuktian : Pembuktian kontrapositif

Pembuktian kontrapositif merupakan salah satu jenis pembuktian tidak langsung. Sebelum masuk ke pembuktian ini kita ingat kembali materi logika matematika. Pada materi logika matematika pernyataan \( p \mapsto q\)  memiliki nilai yang ekuivalen dengan pernyataan  \( - q \mapsto - p\)  karena kedua pernyataan tersebut tautologi (silakan periksa nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran). Pembuktian kontrapositif juga mengikuti pernyataan tersebut.

Kita memulai pembuktian dengan terlebih dahulu menegasikan kesimpulan ( \( - q\) ) sedemikian sehingga dengan langkah-langkah yang tepat kita sampai pada kesimpulan dalam bentuk negasi hipotesis ( \( - p\) ). Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian kontrapositif memiliki struktur sebagai berikut:

Dimulai: negasi kesimpulan ( \( - q\) )

……	Pernyataan logis
……

Diakhiri: negasi hipotesis ( \( - p\) )

Teladan: 

Jika  \( n^{2}\)  merupakan bilangan genap maka \( n\) merupakan bilangan genap.

Bukti: 

Andaikan \( n\) merupakan bilangan ganjil (negasi dari kesimpulan “\( n\) merupakan bilangan genap”), sehingga \( n\) dapat ditulis sebagai \( n=2x+1\) dengan \( x\) anggota bilangan bulat.
Akan dibuktikan bahwa \( n^{2} \) merupakan bilangan ganjil (negasi hipotesis “ \( n^{2} \) merupakan bilangan genap "). Bila \( n = 2x+1\)  maka \( n^{2}= n \times n = (2x+1) \times (2x+1) = \) \( 4 x^{2} + 4 x +1 = 2 (2 x ^{2} + 2x) +1 \)   , bila \( z = 2x^{2} + 2x \) dan \( z\) merupakan anggota bilangan bulat maka berlaku pula \( n^{2}=2z+1 \) . Bentuk \(n^{2}=2z+1 \) menunjukkan bahwa \( n^{2} \)  merupakan bilangan ganjil.

Proses Berfikir:

Pembuktian dimulai dengan menentukan hipotesis dan kesimpulan. Pada masalah tersebut hipotesisnya adalah \( n^{2} \) merupakan bilangan genap dan kesimpulannya adalah \( n \) merupakan bilangan genap. Kemudian mulai membuat negasi dari hipotesis dan kesimpulan. Negasi dari hipotesis adalah \( n^{2} \) bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan bahwa \( n ^{2} \) merupakan bilangan ganjil. Sedangkan negasi dari kesimpulan adalah \( n \) bukan merupakan bilangan genap atau dapat pula dikatakan \( n \) merupakan bilangan ganjil. Pada pembuktian kontrapositif ini, kita akan memulai pembuktian dari negasi kesimpulan kemudian diakhiri dengan negasi hipotesis.

Kita mulai dengan pernyataan \( n \) merupakan bilangan ganjil, ingat kita tidak diperkenankan mengambil sebuah bilangan untuk melakukan pembuktian tetapi menuliskannya nilai \( n \) secara umum. Misal \( n \) merupakan bilangan ganjil, \( n \) dapat ditulis sebagai \( n= 2x+1 \) dimana \( x \)  merupakan anggota bilangan bulat. Selanjutnya kita ingin sampai pada kesimpulan bahwa \( n ^{2} \) merupakan bilangan ganjil, sehingga \( n ^{2} = n \times n = (2x+1) \times (2x+1) = \) \( 4 x^{2}+ 4x +1 = 2 (2 x^{2} +2x) +1 \) . Selanjutnya, ingat bahwa kita ingin memperoleh hasil yang terkait dengan bilangan ganjil (secara umum ditulis \( 2 z+ 1\) ). Kita dapat melakukan beberapa manipulasi matematika, salah satu cara dengan memisalkan \( 2 x ^{2}+ 2x \) sebagai \( z \) atau dapat ditulis ( \( z = 2  ^{2} + 2x \) ) dan \( z \) merupakan anggota bilangan bulat. Sehingga \( n^{2} \) dapat ditulis ulang sebagai \( 2z+1 \) atau \( n^{2}= 2z + 1 \) . Bentuk \( n^{2} = 2z +1 \) menunjukkan bahwa \( n^{2} \) merupakan bilangan ganjil. Terlihat bahwa kesimpulan yang didapat sesuai dengan negasi hipotesis. 

Hal tersebut menyebabkan pernyataan awal bahwa “Jika \( n^{2} \) merupakan bilangan genap maka \( n \) merupakan bilangan genap” terbukti benar. 

Aku dalam Pi

Konon katanya Anda dapat menemukan tanggal lahir Anda pada penjabaran nilai Pi (3,14...) ternyata tanggal lahir saya (02121986) berdasarkan https://www.angio.net/pi/bigpi.cgi muncul pada urutan ke- 153,112,232 (counting from the first digit after the decimal point. The 3. is not counted).

diurutan mana tanggal lahir Anda??

Metode Pembuktian : Pembuktian Langsung

Pebuktian langsung dapat kita awali dari pernyataan , dimana pernyataan p disebut hipotesis dan pernyataan q disebut kesimpulan. Bila dibuat strukturnya, maka pembuktian langsung memiliki struktur sebagai berikut:

Dimulai: hipotesis (p)

……	Pernyataan logis
……

Diakhiri: kesimpulan (q)

Teladan 1.1.1: Jika m dan n adalah bilangan genap maka m+n bilangan genap.

(Ingat bahwa integer n merupakan bilangan genap jika dan hanya jika terdapat integer k sedemikian sehingga berlaku n = 2k; integer n merupakan bilangan ganjil jika dan hanya jika terdapat integer k sedemikian sehingga berlaku n = 2k+1).

Bukti: Misal m dan n merupakan bilangan genap. Sehingga terdapat integer j dan k sedemikian sehingga berlaku m = 2j dan n = 2k.  Sehingga m + n = 2j + 2k = 2 (j+k). Maka m + n merupakan bilangan genap.

Proses Berpikir: Kita mulai dengan mengasumsikan hipotesis bahwa m dan n merupakan bilangan genap. Selanjutnya kita mulai mengembangkan konsekuensi logis sedemikian rupa sehingga mendapatkan kesimpulan bahwa m+n merupakan bilangan genap. Kita dapat saja mengambil sebuah bilangan sebagai contoh, tetapi yang harus diingat apabila kita mengambil sebuah bilangan sebagai contoh maka pernyataan tersebut hanya benar untuk contoh yang diambil (tidak benar secara umum). Misal kita ambil nilai m dan n berturut-turut adalah 2 dan 4, maka pernyataan di atas akan menjadi 2 + 4 = 6 (bilangan genap) pernyataan tersebut benar tetapi hanya untuk nilai n = 2 dan m = 4 begitu pula bila kita ambil contoh lainnya.

Untuk mengatasi keterbatasan tersebut, kita dapat memisalkan nilai m dan n dengan menuliskan sebagai nilai m = 2j dan n = 2k dimana j dan k merupakan anggota dari bilangan integer. Kemudian, pernyataan tersebut ingin melihat penjumlahan antara m dan n. Karena nilai m = 2j dan n = 2k  sehingga penjumlahan kedua bilangan tersebut dapat ditulis pula 2j + 2k. Selanjutnya pernyataan tersebut menginginkan bahwa hasil dari penjumlahan tersebut merupakan bilangan yang bernilai genap (ingat bahwa bilangan genap dapat ditulis sebagai 2k dengan k merupakan anggota bilangan integer), dengan menggunakan sifat distributif 2j + 2k = 2 (j+k). Kita ingat kembali pada aljabar berlaku sifat ketetutupan pada operasi (+), sehingga apabila dua buah bilangan integer dijumlahkan (j+k) maka hasil yang diperoleh juga merupakan bilangan integer, misal x. Sehingga 2 (j+k) = 2x. Kesimpulannya m + n = 2x, sehingga pernyataan bahwa apabila kedua bilangan genap (m dan n ) dijumlah maka akan menghasilkan bilangan genap.

Teladan 1.1.2: Jika x bilangan ganjil maka bilangan ganjil

Bukti: Misal x bilangan ganjil, maka dapat ditulis pula x = 2a+1 dimana a merupakan bilangan integer. Selanjutnya apabila dijabarkan x^2 = x . x, sehingga x^2 = x . x = (2a+1) (2a+1)= 4a^2 + 4a + 1 = 2 (2a^2+2a) +1. Apabila kita misalkan bahwa b = 2a^2+2a, maka x^2 = 2b + 1. Jadi, x^2 bilangan ganjil.

Teladan 1.1.3: Jika a|b dan b|c maka a|c

(a|b menyatakan bahwa suatu bilangan b habis di bagi a atau bila bilangan b dibagi a maka tidak memiliki sisa pembagian. secara matematis a|b dapat ditulis pula sebagai b = a.x dimana x merupakan sebarang anggota bilangan integer)

Bukti: a|b dan b|c dapat pula ditulis dalam bentuk b = a.x dan c = b.y dimana x dan y merupakan anggota bilangan integer.  

Teladan 1.1.4: Jika dua integer memiliki paritas berlawanan maka jumlah keduanya ganjil.

(paritas adalah sifat pada bilangan bulat yang terdiri dari bilangan ganjil dan bilangan genap)

Bukti: Dua integer dengan paritas berlawanan (misal p bilangan genap dan q bilangan ganjil)

(Pembuktian harus dibagi menjadi 2 kasus yakni pada saat p genap dan q ganjil dan kasus lain pada saat p ganjil dan q genap)

Kasus I (p genap dan q ganjil)

Bila p merupakan bilangan genap maka p dapat dituliskan sebagai 2x, dengan x anggota bilangan bulat. Bila q merupakan bilangan ganjil maka q dapat dituliskan sebagai 2y+1, dengan y anggota bilangan bulat. Jumlah kedua bilangan dapat dituliskan sebagai; p+q = 2x + (2y+1) = 2x+2y+1 = 2(x+y)+1 = 2 z +1 , dimana z = x+y dan z merupakan bilangan bulat. Terlihat bentuk P + q = 2z +1 menunjukkan bahwa p + q merupakan bilangan ganjil.

Kasus II (p ganjil dan q genap)

Dengan cara yang mirip didapatkan bahwa p + q juga merupakan bilangan ganjil.

Dari kedua kasus tersebut dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua bilangan dengan paritas yang berlawanan akan menghasilkan bilangan ganjil.

semoga membantu...

salam,
aji raditya

soal latihan materi fungsi kuadrat

yuk latihan.... :D

soal latihan fungsi kuadrat by Aji Raditya

selamat mengerjakan

sekilas e-learning @prezi

sekilas tentang elearning, sambil nyobain prezi...




selamat menikmati

a. raditya

Soal Turunan - Kalkulus

soal turunan - kalkulus

kalkulus - turunan from adji raditya

selamat mengerjakan :D